18-22 հունվար

Մաթեմատիկա

Մաթեմատիկա/ Առաջադրանք 6

Ֆունկցիայի տրված գրաֆիկով որոշեք նրա բնութագրիչները.

• որոշման տիրույթը- (-∞,+∞) կամ(-2,10)
• արժեքների տիրույթը- (-2,10)
• աճման միջակայքերը- (4,3)(-2,2)
• նվազման միջակայքերը- (-2, 1) (4, 8)

• մեծագույն արժեքը -(10)
• փոքրագույն արժեքը -(-3)
• աբսցիսների առանցքի հետ հատման կետերը- (0;2;6;10)
• օրդինատների առանցքի հետ հատման կետը- (0)

Մաթեմատիկա/ Առաջադրանք 5

Ընտրեք ֆունկցիա: Կոորդինակային հարթության վրա նշեք այդ ֆունկցիայի գրաֆիկին  պատկանող տասը կետ: Գծեք ֆունկցիայի գրաֆիկը: 

Իրական թվեր

Իրական թվեր 

• Իրական թիվը անընդհատ ուղղի վրա ներկայացվող արժեք է։

•  Իրական թվերն են ռացիոնալ և իռացիոնալ թվերը:

• Ռացիոնալ թվերը, այն թվերն են որոնք կարող ենք ներկայացնել m/n   կոտորակի տեսքով, որտեղ m € Z իսկ n € N : 

• Ռացիոնալ թվերի բազմությունը նշանակում են Q-ով: 

• Այն թվերը որոնք հնարավոր չէ  ներկայացնել m/n   կոտորակի տեսքով , որտեղ  m € Z իսկ n € N, կոչվում է իռացիոնալ թիվ: 

• Ռացիոնալ և իռացիոնալ թվերի բազմությունը կոչվում է իրական թվերի բազմություն և նշանակվում R-ով: 

• Իռացիոնալ են նաև արմատով թվերը: 

• Եթե գումարներից մեկը իռացիոնալ թիվ է մյուսը ռացիոնալ, ապա գումարը կլինի իռացիոնալ թիվ: 

• Այն թվերը որոնք ներկայացվում են անվերջ ոչ պարբերական կոտորակի տեսքով կոչվում են իռացիոնալ թվեր: 

• Եթե երկու գումարելիներն էլ ռացիոնալ թվեր են ապա գումարը կլինի ռացիոնալ թիվ: 

• Եթե երկու գումարելիներն էլ իռացիոնալ թվեր են, ապա կլինի ռացիոնալ կամ  իռացիոնալ թիվ: 

Կոտորակներ

   Կոտորակների սահմանում  
Կոտորակի հասկացությունը առաջացել է մի քանի հազարամյակ առաջ, երբ անհրաժեշտություն է առաջացել որոշ իրերի չափման համար (երկարություն, զանգված, մակերես և այլն), մարդիկ հասկացան, որ միայն ամբողջ թվերը բավարար չեն և անհրաժեշտ է մասի հասկացության ներմուծում՝ կեսի, երրորդի և այլն։ 

Կոտորակներով և նրանց հետ գործողություններով օգտվել են հին հույները և եգիպտացիները։  

 Կա կոտորակային թվերը գրելու 2 եղանակ՝ սովորական կոտորակներ, որը 2 ամբողջ թվերի հարաբերություն է, օրինակ՝ 3/4, և տասնորդական կոտորակներ, օրինակ՝ 0, 75։ Սովորական կոտորակի վերևի թիվն անվանում են համարիչ, ներքևինը՝ հայտարար։ 

 Տասնորդական կոտորակը, օրինակ՝18,28, գրվում է առանց հայտարարի և կարդացվում «տասնութ ամբողջ քսանութ հարյուրերորդական»։

 Տասնորդական կոտորակներում ինչպես ամբողջ թվերի, այնպես էլ ստորակետից հետո եղած թվերի արժեքը կախված է դրանց գրաված տեղից՝ կարգից. յուրաքանչյուր կարգ գնահատվում է 10 անգամ ավելի փոքր, քան ձախ կողմի հարևանը։

 Կոտորակների հանում, գումարում, բազմապատկում  և  բաժանումը   

a/b+c/b=a+c/b- եթե  կոտորակների  հայտարարները  նույնն են, ուրեմն  հայտարարը  մնում է  նույնը համարիչները  գումարում ենք: 

a/c+b/d=a*d+b*c/c*d- եթե  հայտարարները  տարբեր են, ուրեմն  ընդհանուր  հայտարարն ենք  գտնում, այն  թիվը, որը  երկուսի  վրա էլ  բաժանվում  է, այնուհետև  առաջին  կոտորակի համարիչը  բազմապատկում ենք  երկրորդի  հայտարարով, գումարում  առաջին  կոտորակի  հայտարարի  և  երկրոդի համարիչի  արտադրյալը: 

a/cb/d=a*dc*b/c*d - հանումը  կատարվում է  գումարման  նման, ուղղակի  այս  դեպքում  չենք գումարում, այլ  հանում ենք: 

a/b*c/d=a*c/b*d բազմապատկման  ժամանակ  համարիչները  իրարով ենք  բազմապատկում, հայտարարները  իրարով: 

a/b:c/d=a*d/b*c բաժանման  ժամանակ  առաջին  կոտորակի  համարիչը  բազմապատկում ենք  երկրոդի  հայտարարով,  հայտարարն էլ, երկորդի  համարիչով: 

Բնական թվեր

 Բնական թվեր
Բնական են համարվում այն թվերը, որոնք օգտագործվում են՝ 

Բնական  առարկաները  հաշվելու համար   

Բնական  առարկաների  քանակը  նշելու  համար 

Բացասական և ոչ ամբողջ (ռացիոնալ, իրական, …) թվերը բնական թվեր չեն կարող լինել։ 

Ենթաբազմությունները 

Բնական թվերի բազմության մեջ են մտնում մի շարք ենթաբազմություններ, ինչպես օրինակ՝ 

• Զույգ թվեր, որոնք բաժանվում են 2-ի՝ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14  և այլն 
• Կենտ թվեր, որոնք չեն բաժանվում 2-ի՝ 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15  և այլն 
• Պարզ թվեր, որոնք չունեն 1-ից ուրիշ բաժանարար՝ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 և այլն 
• Կատարյալ թվեր, որոնք հավասար են իրենց իսկ բաժանարարների գումարին՝ 6, 28, 496, 8128 և այլն  
• Աքիլեսի թվեր, որոնք բաժանվում են իրենց բոլոր բաժանարարների քառակուսիների վրա՝ 72, 108, 200, 288, 392  և այլն: Բայց օրինակ՝ 36-ը 72-ի բաժանարար է, բայց 72-ը չի բաժանվում 36-ի քառակուսուն  
• Հարշադի թվեր, որոնք բաժանվում են իրենց թվանշանների գումարի վրա` 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, և այլն 

Հատկությունները 

Բնական թվերի բազմության մեջ գործողություններից երկուսի` գումարման և բազմապատկման արդյունքում ստացվում են նույն բազմությանը պատկանող թվեր։ Ի տարբերություն այդ երկու գործողությունների, հանման և բաժանման գործողությունները միշտ չէ, որ պատասխաններ ունեն բնական թվերի բազմության մեջ։ 

Բնական թվերի բազմությունը անվերջ է, քանի որ կգտնվի ցանկացած բնական թվից մեծ այլ, օրինակ՝ մեկով ավելի բնական թիվ։ 

Բաժանարար   Այն բնական թիվը, որին բաժանվում է տվյալ բնական թիվը, կոչվում է վերջինիս բաժանարար: Օրինակ՝ 15:3=5, 3-ը 15-ի բաժանարարն է: 

Բազմապատիկ Այն բնական թիվը, որը բաժանվում է տվյալ բնական թվին, կոչվում է վերջինիս բազմապատիկ: Օրինակ՝ 50:5=10, 50-ը 5-ի բազմապատիկն է: 

Տասական համակարգ Հնդկա–արաբական համակարգն իր 10 թվանշաններով կոչվում է տասական համակարգ: Թեև դրանում կա ընդամենը 10 թվանշան, սակայն դրանցով կարելի է գրել ցանկացած թիվ: Դա արվում է թվային կարգերն օգտագործելու եղանակով. երբ 2 կամ ավելի թվանշաններ դրվում են մեկը մյուսի հետևից, դրանցից յուրաքանչյուրի մեծությունը կախված է նրա գրաված տեղից: 

 Օրինակ՝  

հազարավոր հարյուրավոր տասնավոր միավոր 

          2                2                 2           2                                                      

այս ամենը նշանակում է` երկու հազար + երկու հարյուր + երկու տասը + երկու միավոր: Թվային կարգերի մեր համակարգում յուրաքանչյուր կարգ գնահատվում է 10 անգամ ավելի բարձր, քան նրա աջ կողմի հարևանը: